Statistik - Black-Scholes-Modell

Das Black-Scholes-Modell ist ein mathematisches Modell zur Überprüfung der zeitlichen Preisschwankungen von Finanzinstrumenten wie Aktien, mit deren Hilfe der Preis einer europäischen Call-Option berechnet werden kann. Dieses Modell geht davon aus, dass der Preis von Vermögenswerten, die stark gehandelt werden, einer geometrischen Brownschen Bewegung folgt, die eine konstante Drift und Volatilität aufweist. Im Falle einer Aktienoption berücksichtigt das Black-Scholes-Modell die konstante Kursschwankung der zugrunde liegenden Aktie, den Zeitwert des Geldes, den Ausübungspreis der Option und deren Verfallszeit.

Das Black-Scholes-Modell wurde 1973 von Fisher Black, Robert Merton und Myron Scholes entwickelt und ist auf den euporianischen Finanzmärkten nach wie vor weit verbreitet. Dies ist eine der besten Methoden, um faire Optionspreise zu ermitteln.

Eingänge

Das Black-Scholes-Modell erfordert fünf Eingänge.

  • Ausübungspreis einer Option

  • Aktueller Aktienkurs

  • Zeit bis zum Ablauf

  • Risikofreier Tarif

  • Flüchtigkeit

Annahmen

Das Black-Scholes-Modell geht von folgenden Punkten aus.

  • Die Aktienkurse folgen einer logarithmischen Verteilung.

  • Vermögenspreise können nicht negativ sein.

  • Keine Transaktionskosten oder Steuern.

  • Der risikofreie Zinssatz ist für alle Laufzeiten konstant.

  • Leerverkäufe von Wertpapieren unter Verwendung von Erlösen sind zulässig.

  • Keine risikolose Arbitrage-Möglichkeit vorhanden.

Formel

$ {C = SN (d_1) - Ke ^ {- rT} Nd_2 \\ [7pt] \, P = Ke ^ {- rT} N (-d_2) - SN (-d_1) \\ [7pt] \, wobei \\ [7pt] \, d_1 = \ frac {1} {{\ sigma \ sqrt T}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r + \ frac {\ sigma ^ 2} {2} T)] \\ [7pt] \, d_2 = d_1 - \ sigma \ sqrt T} $

Wo -

  • $ {C} $ = Wert der Call Option.

  • $ {P} $ = Wert der Put-Option.

  • $ {S} $ = Aktienkurs.

  • $ {K} $ = Basispreis.

  • $ {r} $ = Risikofreier Zinssatz.

  • $ {T} $ = Restlaufzeit.

  • $ {\ sigma} $ = Annualisierte Volatilität.

Einschränkungen

Das Black-Scholes-Modell unterliegt folgenden Einschränkungen.

  • Nur anwendbar auf europäische Optionen, da amerikanische Optionen vor ihrem Ablauf ausgeübt werden könnten.

  • Konstante Dividenden und konstante risikofreie Zinssätze sind möglicherweise nicht relistisch.

  • Die Volatilität kann mit der Höhe des Angebots und der Nachfrage nach Optionen schwanken, sodass eine Konstanz möglicherweise nicht der Wahrheit entspricht.