Statistik - Satz von Chebyshev

Der Bruch jeder Menge von Zahlen, die innerhalb von k Standardabweichungen dieser Zahlen liegen, ist mindestens der Mittelwert dieser Zahlen

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2}} $

Wo -

  • $ {k = \ frac {die \ innerhalb \ Nummer} {die \ Standard \ Abweichung}} $

und $ {k} $ muss größer als 1 sein

Beispiel

Problemstellung:

Verwenden Sie den Satz von Chebyshev, um herauszufinden, wie viel Prozent der Werte für einen Datensatz mit einem Mittelwert von 151 und einer Standardabweichung von 14 zwischen 123 und 179 liegen.

Lösung:

  • Wir subtrahieren 151-123 und erhalten 28, was uns sagt, dass 123 28 Einheiten unter dem Mittelwert liegt.

  • Wir subtrahieren 179-151 und erhalten 28, was uns sagt, dass 151 28 Einheiten über dem Mittelwert liegen.

  • Diese beiden zusammen sagen uns, dass die Werte zwischen 123 und 179 alle innerhalb von 28 Einheiten des Mittelwerts liegen. Daher ist die "innerhalb der Zahl" 28.

  • Wir finden also die Anzahl der Standardabweichungen, k, die die "in Zahl" 28 ergibt, indem wir sie durch die Standardabweichung dividieren:

$ {k = \ frac {die \ innerhalb \ Nummer} {die \ Standard \ Abweichung} = \ frac {28} {14} = 2} $

Jetzt wissen wir also, dass die Werte zwischen 123 und 179 alle innerhalb von 28 Einheiten des Mittelwerts liegen, was dem Wert innerhalb von k = 2 Standardabweichungen des Mittelwerts entspricht. Da nun k> 1 ist, können wir die Chebyshev-Formel verwenden, um den Bruchteil der Daten zu finden, die innerhalb von k = 2 Standardabweichungen des Mittelwerts liegen. Wenn wir k = 2 einsetzen, haben wir:

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2} = 1- \ frac {1} {2 ^ 2} = 1- \ frac {1} {4} = \ frac {3} {4}} $

Also liegen $ {\ frac {3} {4}} $ der Daten zwischen 123 und 179. Und da $ {\ frac {3} {4} = 75} $% impliziert, dass 75% der Datenwerte zwischen liegen 123 und 179.