Statistik - Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung (Chi-Quadrat oder $ {X ^ 2} $ - Verteilung) mit Freiheitsgraden, k ist die Verteilung einer Summe der Quadrate von k unabhängigen normalen Standard-Zufallsvariablen. Es ist eine der am häufigsten verwendeten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik. Es ist ein Sonderfall der Gammaverteilung.

Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung wird von Statistikern häufig verwendet, um Folgendes zu berechnen:

  • Schätzung des Konfidenzintervalls für eine Populationsstandardabweichung einer Normalverteilung unter Verwendung einer Stichprobenstandardabweichung.

  • Überprüfung der Unabhängigkeit von zwei Kriterien zur Klassifizierung mehrerer qualitativer Variablen.

  • So überprüfen Sie die Beziehungen zwischen kategorialen Variablen.

  • Untersuchung der Stichprobenvarianz bei normaler zugrunde liegender Verteilung.

  • Um Abweichungen von Unterschieden zwischen erwarteten und beobachteten Frequenzen zu testen.

  • Durchführung des Chi-Quadrat-Tests

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung ist gegeben als:

Formel

$ {f (x; k) =} $ \ begin {cases} \ frac {x ^ {\ frac {k} {2} - 1} e ^ {- \ frac {x} {2}}} {2 ^ {\ frac {k} {2}} \ Gamma (\ frac {k} {2})}, & \ text {if $ x \ gt 0 $} \\ [7pt] 0, & \ text {if $ x \ le 0 $} \ end {cases} $

Wo -

  • $ {\ Gamma (\ frac {k} {2})} $ = Gammafunktion mit geschlossenen Formwerten für den ganzzahligen Parameter k.

  • $ {x} $ = Zufallsvariable.

  • $ {k} $ = Integer-Parameter.

Verteilungsfunktion

Die kumulative Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung ist gegeben als:

Formel

$ {F (x; k) = \ frac {\ gamma (\ frac {x} {2}, \ frac {k} {2})} {\ gamma (\ frac {k} {2})} \\ [7pt] = P (\ frac {x} {2}, \ frac {k} {2})} $

Wo -

  • $ {\ gamma (s, t)} $ = niedrigere unvollständige Gammafunktion.

  • $ {P (s, t)} $ = regulierte Gammafunktion.

  • $ {x} $ = Zufallsvariable.

  • $ {k} $ = Integer-Parameter.