Statistik - Gamma-Verteilung

Die Gamma-Verteilung repräsentiert kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zwei-Parameter-Familie. Gamma-Verteilungen bestehen im Allgemeinen aus drei Arten von Parameterkombinationen.

  • Ein Formparameter $ k $ und ein Skalierungsparameter $ \ theta $.

  • Ein Formparameter $ \ alpha = k $ und ein inverser Skalierungsparameter $ \ beta = \ frac {1} {\ theta} $, der als Ratenparameter bezeichnet wird.

  • Ein Formparameter $ k $ und ein mittlerer Parameter $ \ mu = \ frac {k} {\ beta} $.

Gamma-Verteilung

Jeder Parameter ist eine positive reelle Zahl. Die Gammaverteilung ist die maximale Entropiewahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die folgenden Kriterien bestimmt wird.

Formel

$ {E [X] = k \ theta = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ gt 0 \ und \ ist \ fixiert. \\ [7pt] E [ln (X)] = \ psi (k) + ln (& thgr;) = \ psi (& agr;) - ln (& bgr;) \ und \ ist \ fixiert. } $

Wo -

  • $ {X} $ = Zufällige Variable.

  • $ {\ psi} $ = Digamma-Funktion.

Charakterisierung mit Form $ \ alpha $ und Rate $ \ beta $

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gamma-Verteilung ist gegeben als:

Formel

$ {f (x; \ alpha, \ beta) = \ frac {\ beta ^ \ alpha x ^ {\ alpha - 1} e ^ {- x \ beta}} {\ gamma (\ alpha)} \ where \ x \ ge 0 \ und \ \ alpha, \ beta \ gt 0} $

Wo -

  • $ {\ alpha} $ = Standortparameter.

  • $ {\ beta} $ = Skalierungsparameter.

  • $ {x} $ = Zufallsvariable.

Verteilungsfunktion

Die kumulative Verteilungsfunktion der Gamma-Verteilung wird wie folgt angegeben:

Formel

$ {F (x; \ alpha, \ beta) = \ int_0 ^ xf (u; \ alpha, \ beta) du = \ frac {\ gamma (\ alpha, \ beta x)} {\ gamma (\ alpha)} } $

Wo -

  • $ {\ alpha} $ = Standortparameter.

  • $ {\ beta} $ = Skalierungsparameter.

  • $ {x} $ = Zufallsvariable.

  • $ {\ gamma (\ alpha, \ beta x)} $ = niedrigere unvollständige Gammafunktion.

Charakterisierung mit Form $ k $ und Skala $ \ theta $

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gamma-Verteilung ist gegeben als:

Formel

$ {f (x; k, Theta) = \ frac {x ^ {k - 1} e ^ {- \ frac {x} {\ theta}} {\ theta ^ k \ Gamma (k)} \ where \ x \ gt 0 \ und \ k, \ theta \ gt 0} $

Wo -

  • $ {k} $ = Formparameter.

  • $ {\ theta} $ = Skalierungsparameter.

  • $ {x} $ = Zufallsvariable.

  • $ {\ Gamma (k)} $ = bei k bewertete Gammafunktion.

Verteilungsfunktion

Die kumulative Verteilungsfunktion der Gamma-Verteilung wird wie folgt angegeben:

Formel

$ {F (x; k, Theta) = \ int_0 ^ xf (u; k, Theta) du = \ frac {\ gamma (k, \ frac {x} {\ theta})} {\ gamma (k )}} $

Wo -

  • $ {k} $ = Formparameter.

  • $ {\ theta} $ = Skalierungsparameter.

  • $ {x} $ = Zufallsvariable.

  • $ {\ gamma (k, \ frac {x} {\ theta})} $ = niedrigere unvollständige Gammafunktion.