Statistik - Geometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die geometrische Verteilung ist ein Sonderfall der negativen Binomialverteilung. Es behandelt die Anzahl der Versuche, die für einen einzelnen Erfolg erforderlich sind. Somit ist die geometrische Verteilung eine negative Binomialverteilung, bei der die Anzahl der Erfolge (r) gleich 1 ist.

Formel

$ {P (X = x) = p \ times q ^ {x-1}} $

Wo -

  • $ {p} $ = Erfolgswahrscheinlichkeit für einen einzelnen Versuch.

  • $ {q} $ = Ausfallwahrscheinlichkeit für einen einzelnen Versuch (1-p)

  • $ {x} $ = die Anzahl der Fehler vor einem Erfolg.

  • $ {P (Xx)} $ = Wahrscheinlichkeit von x Erfolgen in n Versuchen.

Beispiel

Problemstellung:

Auf einer Vergnügungsmesse hat ein Teilnehmer Anspruch auf einen Preis, wenn er aus einer bestimmten Entfernung einen Ring auf einen Pflock wirft. Es wird beobachtet, dass nur 30% der Wettbewerber dazu in der Lage sind. Wenn jemand 5 Chancen hat, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er den Preis gewinnt, wenn er bereits 4 Chancen verpasst hat?

Lösung:

Wenn jemand bereits vier Chancen verpasst hat und bei der fünften Chance gewinnen muss, ist es ein Wahrscheinlichkeitsexperiment, den ersten Erfolg in 5 Versuchen zu erzielen. Die Problemstellung legt auch nahe, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung geometrisch ist. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ergibt sich aus der geometrischen Verteilungsformel:

$ {P (X = x) = p \ times q ^ {x-1}} $

Wo -

  • $ {p = 30 \% = 0.3} $

  • $ {x = 5} $ = die Anzahl der Fehler vor einem Erfolg.

Daher ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit:

$ {P (X = 5) = 0,3x (1-0,3) ^ {5-1}, \\ [7pt] \, = 0,3x (0,7) ^ 4, \\ [7pt] \, \ ca 0,072 \\ [7pt] \, \ ca. 7,2 \%} $