Statistik - Hypergeometrische Verteilung

Eine hypergeometrische Zufallsvariable ist die Anzahl der Erfolge, die sich aus einem hypergeometrischen Experiment ergeben. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer hypergeometrischen Zufallsvariablen wird als hypergeometrische Verteilung bezeichnet .

Die hypergeometrische Verteilung wird durch die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion definiert und angegeben:

Formel

$ {h (x; N, n, K) = \ frac {[C (k, x)] [C (Nk, nx)]} {C (N, n)}} $

Wo -

  • $ {N} $ = Elemente in der Population

  • $ {k} $ = Erfolge in der Bevölkerung.

  • $ {n} $ = Elemente in der Zufallsstichprobe, die aus dieser Grundgesamtheit gezogen wurden.

  • $ {x} $ = Erfolge in der Stichprobe.

Beispiel

Problemstellung:

Angenommen, wir wählen zufällig 5 Karten ohne Ersatz aus einem normalen Kartenspiel aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 rote Karten (dh Herzen oder Diamanten) zu erhalten?

Lösung:

Dies ist ein hypergeometrisches Experiment, bei dem wir Folgendes wissen:

  • N = 52; da gibt es 52 Karten in einem Deck.

  • k = 26; da gibt es 26 rote karten in einem deck.

  • n = 5; da wir zufällig 5 Karten aus dem Deck auswählen.

  • x = 2; da 2 der von uns ausgewählten Karten rot sind.

Wir fügen diese Werte wie folgt in die hypergeometrische Formel ein:

$ {h (x; N, n, k) = \ frac {[C (k, x)] [C (Nk, nx)]} {C (N, n)} \\ [7pt] h (2; 52, 5, 26) = \ frac {[C (26,2)] [C (52-26,5-2)]} {C (52,5)} \\ [7pt] = \ frac {[325 ] [2600]} {2598960} \\ [7pt] = 0,32513} $

Die Wahrscheinlichkeit, 2 rote Karten zufällig auszuwählen, beträgt somit 0,32513.