Statistik - Kurtosis

Der Grad der Tailedness einer Verteilung wird durch Kurtosis gemessen. Sie gibt an, inwieweit die Verteilung mehr oder weniger anfällig für Ausreißer (schwerer oder schwächer) als die Normalverteilung ist. Drei verschiedene Arten von Kurven, mit freundlicher Genehmigung von Investopedia, sind wie folgt dargestellt:

Kurtosis

Es ist schwierig, verschiedene Arten von Kurtosis aus den Dichtediagrammen (linkes Feld) zu unterscheiden, da die Schwänze für alle Verteilungen nahe Null sind. In den normalen Quantil-Quantil-Diagrammen (rechtes Feld) sind jedoch Unterschiede in den Schwänzen leicht zu erkennen.

Die normale Kurve wird als mesokurtische Kurve bezeichnet. Ist die Kurve einer Verteilung anfälliger (oder schwerer) als eine normale oder mesokurtische Kurve, wird sie als leptokurtische Kurve bezeichnet. Wenn eine Kurve weniger anfällig für Ausreißer ist (oder einen helleren Schwanz hat) als eine normale Kurve, wird sie als platykurtische Kurve bezeichnet. Kurtosis wird durch Momente gemessen und wird durch die folgende Formel gegeben -

Formel

$ {\ beta_2 = \ frac {\ mu_4} {\ mu_2}} $

Wo -

  • $ {\ mu_4 = \ frac {\ sum (x- \ bar x) ^ 4} {N}} $

Je größer der Wert von & bgr; 2 ist, desto höher ist der Peak oder die Leptokurtik der Kurve. Eine normale Kurve hat einen Wert von 3, ein Leptokurtikum hat & bgr; 2 größer als 3 und ein Platykurtikum hat & bgr; 2 kleiner als 3.

Beispiel

Problemstellung:

Es werden Angaben zum Tageslohn von 45 Arbeitern einer Fabrik gemacht. Berechnen Sie \ beta_1 und \ beta_2 mit moment über den Mittelwert. Kommentieren Sie die Ergebnisse.

Löhne (Rs.) Anzahl der Arbeiter
100-200 1
120-200 2
140-200 6
160-200 20
180-200 11
200-200 3
220-200 2

Lösung:

Lohn
(Rs.)
Anzahl der Arbeiter
(f)
Mid-pt
m
m - $ {\ frac {170} {20}} $
d
$ {fd} $ $ {fd ^ 2} $ $ {fd ^ 3} $ $ {fd ^ 4} $
100-200 1 110 -3 -3 9 -27 81
120-200 2 130 -2 -4 8 -16 32
140-200 6 150 -1 -6 6 -6 6
160-200 20 170 0 0 0 0 0
180-200 11 190 1 11 11 11 11
200-200 3 210 2 6 12 24 48
220-200 2 230 3 6 18 54 162
$ {N = 45} $ $ {\ sum fd = 10} $ $ {\ sum fd ^ 2 = 64} $ $ {\ sum fd ^ 3 = 40} $ $ {\ sum fd ^ 4 = 330} $

Da die Abweichungen von einem angenommenen Mittelwert genommen wurden, berechnen wir zuerst Momente über den willkürlichen Ursprung und dann Momente über den Mittelwert. Momente willkürlicher Herkunft '170'

$ {\ mu_1 ^ 1 = \ frac {\ sum fd} {N} \ mal i = \ frac {10} {45} \ mal 20 = 4,44 \\ [7pt] \ mu_2 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 2} {N} \ times i ^ 2 = \ frac {64} {45} \ times 20 ^ 2 = 568,88 \\ [7pt] \ mu_3 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 2} {N} \ mal i ^ 3 = \ frac {40} {45} \ mal 20 ^ 3 = 7111.11 \\ [7pt] \ mu_4 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 4} {N} \ mal i ^ 4 = \ frac {330} {45} \ times 20 ^ 4 = 1173333.33} $

Momente über gemein

$ {\ mu_2 = \ mu'_2 - (\ mu'_1) ^ 2 = 568,88- (4,44) ^ 2 = 549,16 \\ [7pt] \ mu_3 = \ mu'_3-3 (\ mu'_1) (\ mu'_2) + 2 (\ mu'_1) ^ 3 \\ [7pt] \, = 7111,11 - (4,44) (568,88) + 2 (4,44) ^ 3 \\ [7pt] \, = 7111,11 - 7577,48 + 175,05 = - 291,32 \\ [7pt] \\ [7pt] \ mu_4 = \ mu'_4 - 4 (\ mu'_1) (\ mu'_3) + 6 (\ mu_1) ^ 2 (\ mu'_2) -3 (\ mu'_1) ^ 4 \ [7pt] \, = 1173333.33 - 4 (4.44) (7111.11) +6 (4.44) ^ 2 (568.88) - 3 (4.44) ^ 4 \ [7pt] \, = 1173333.33 - 126293.31 + 67288.03-1165.87 \\ [7pt] \, = 1113162.18} $

Aus dem Wert der Bewegung um den Mittelwert können wir nun $ {\ beta_1} $ und $ {\ beta_2} $ berechnen:

$ {\ beta_1 = \ mu ^ 2_3 = \ frac {(- 291,32) ^ 2} {(549,16) ^ 3} = 0,00051 \\ [7pt] \ beta_2 = \ frac {\ mu_4} {(\ mu_2) ^ 2 } = \ frac {1113162.18} {(546.16) ^ 2} = 3.69} $

Aus den obigen Berechnungen kann geschlossen werden, dass $ {\ beta_1} $, das die Schiefe misst, nahezu Null ist, wodurch angezeigt wird, dass die Verteilung nahezu symmetrisch ist. $ {\ beta_2} $ Diese Methode misst die Kurtosis und hat einen Wert von mehr als 3, was bedeutet, dass die Verteilung leptokurtisch ist.