Statistik - Multinomialverteilung

Ein multinomiales Experiment ist ein statistisches Experiment und besteht aus n wiederholten Versuchen. Jeder Versuch hat eine diskrete Anzahl möglicher Ergebnisse. Bei jedem Versuch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ergebnis eintritt, konstant.

Formel

$ {P_r = \ frac {n!} {(N_1!) (N_2!) ... (n_x!)} {P_1} ^ {n_1} {P_2} ^ {n_2} ... {P_x} ^ {n_x }} $

Wo -

  • $ {n} $ = Anzahl der Ereignisse

  • $ {n_1} $ = Anzahl der Ergebnisse, Ereignis 1

  • $ {n_2} $ = Anzahl der Ergebnisse, Ereignis 2

  • $ {n_x} $ = Anzahl der Ergebnisse, Ereignis x

  • $ {P_1} $ = Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis 1 eintritt

  • $ {P_2} $ = Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis 2 eintritt

  • $ {P_x} $ = Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis x eintritt

Beispiel

Problemstellung:

Drei Kartenspieler spielen eine Reihe von Spielen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A ein Spiel gewinnt, beträgt 20%, die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler B gewinnt, 30% und die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler C gewinnt, 50%. Wenn sie 6 Spiele spielen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A 1 Spiel gewinnt, Spieler B 2 Spiele gewinnt und Spieler C 3 gewinnt?

Lösung:

Gegeben:

  • $ {n} $ = 12 (6 Spiele insgesamt)

  • $ {n_1} $ = 1 (Spieler A gewinnt)

  • $ {n_2} $ = 2 (Spieler B gewinnt)

  • $ {n_3} $ = 3 (Spieler C gewinnt)

  • $ {P_1} $ = 0.20 (Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A gewinnt)

  • $ {P_1} $ = 0.30 (Wahrscheinlichkeit, dass Spieler B gewinnt)

  • $ {P_1} $ = 0.50 (Wahrscheinlichkeit, dass Spieler C gewinnt)

Wenn wir die Werte in die Formel einfügen, erhalten wir:

$ {P_r = \ frac {n!} {(N_1!) (N_2!) ... (n_x!)} {P_1} ^ {n_1} {P_2} ^ {n_2} ... {P_x} ^ {n_x }, \\ [7pt] \ P_r (A = 1, B = 2, C = 3) = \ frac {6!} {1! 2! 3!} (0,2 ^ 1) (0,3 ^ 2) (0,5 ^ 3), \\ [7pt] \ = 0,135} $