Statistik - Negative Binomialverteilung

Die negative Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Erfolge und Misserfolge in einer Folge unabhängiger Pfade, bevor eine bestimmte Anzahl von Erfolgen eintritt. Im Folgenden sind die wichtigsten Punkte aufgeführt, die bei einem negativen Binomialversuch zu beachten sind.

  • Das Experiment sollte aus x wiederholten Versuchen bestehen.

  • Jeder Trail hat zwei mögliche Ergebnisse, eines für den Erfolg, eines für den Misserfolg.

  • Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei jedem Versuch gleich.

  • Die Ausgabe eines Versuchs ist unabhängig von der Ausgabe eines anderen Trails.

  • Das Experiment sollte durchgeführt werden, bis r Erfolge beobachtet werden, wobei r zuvor erwähnt wurde.

Die Wahrscheinlichkeit einer negativen Binomialverteilung kann folgendermaßen berechnet werden:

Formel

$ {f (x; r, P) = ^ {x-1} C_ {r-1} \ times P ^ r \ times (1-P) ^ {xr}} $

Wo -

  • $ {x} $ = Gesamtzahl der Versuche.

  • $ {r} $ = Anzahl der Erfolge.

  • $ {P} $ = Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Auftreten.

  • $ {1-P} $ = Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls bei jedem Auftreten.

  • $ {f (x; r, P)} $ = Negative Binomialwahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit, dass ein negatives Binomialexperiment für den x-ten Versuch zum rten Erfolg führt, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch P beträgt.

  • $ {^ {n} C_ {r}} $ = Kombination von n gleichzeitig genommenen Gegenständen.

Beispiel

Robert ist ein Fußballspieler. Seine Erfolgsquote beträgt 70%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Robert beim fünften Versuch sein drittes Tor erzielt?

Lösung:

Hier ist die Erfolgswahrscheinlichkeit P 0,70. Anzahl der Versuche, x ist 5 und Anzahl der Erfolge, r ist 3. Berechnen wir unter Verwendung der negativen Binomialverteilungsformel die Wahrscheinlichkeit, im fünften Versuch das dritte Ziel zu erreichen.

$ {f (x; r, P) = ^ {x-1} C_ {r-1} \ times P ^ r \ times (1-P) ^ {xr} \\ [7pt] \ impliziert f (5; 3, 0.7) = ^ 4C_2 \ mal 0.7 ^ 3 \ mal 0.3 ^ 2 \\ [7pt] \, = 6 \ mal 0.343 \ mal 0.09 \\ [7pt] \, = 0.18522} $

Die Wahrscheinlichkeit, im fünften Versuch das dritte Tor zu erzielen, beträgt also $ {0.18522} $.