Statistik - Normalverteilung

Eine Normalverteilung ist eine Anordnung eines Datensatzes, bei der sich die meisten Werte in der Mitte des Bereichs konzentrieren und sich der Rest symmetrisch zu einem der beiden Extremwerte hin verjüngt. Die Größe ist ein einfaches Beispiel für etwas, das einem normalen Verteilungsmuster folgt: Die meisten Menschen sind durchschnittlich groß. Die Anzahl der Personen, die größer und kleiner als der Durchschnitt sind, ist ziemlich gleich, und eine sehr kleine (und immer noch ungefähr äquivalente) Anzahl von Personen ist entweder extrem groß oder extrem kurz. Hier ein Beispiel für eine Normalverteilungskurve:

Normalverteilung

Eine grafische Darstellung einer Normalverteilung wird wegen ihrer aufgeweiteten Form manchmal als Glockenkurve bezeichnet. Die genaue Form kann je nach Bevölkerungsverteilung variieren, aber der Peak liegt immer in der Mitte und die Kurve ist immer symmetrisch. Bei einer Normalverteilung sind der Mittelwert und der Median alle gleich.

Formel

$ {y = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {- (x - \ mu) ^ 2} {2 \ sigma}} $

Wo -

  • $ {\ mu} $ = Mittelwert

  • $ {\ sigma} $ = Standardabweichung

  • $ {\ pi \ ca. 3.14159} $

  • $ {e \ ca. 2.71828} $

Beispiel

Problemstellung:

Eine Umfrage zur täglichen Reisezeit ergab folgende Ergebnisse (in Minuten):

26 33 65 28 34 55 25 44 50 36 26 37 43 62 35 38 45 32 28 34

Der Mittelwert beträgt 38,8 Minuten und die Standardabweichung 11,4 Minuten. Konvertieren Sie die Werte in Z-Scores und erstellen Sie das Normalverteilungsdiagramm.

Lösung:

Die Formel für den Z-Score, die wir verwendet haben:

$ {z = \ frac {x - \ mu} {\ sigma}} $

Wo -

  • $ {z} $ = der "z-Score" (Standard Score)

  • $ {x} $ = der zu standardisierende Wert

  • $ {\ mu} $ = Mittelwert

  • $ {\ sigma} $ = die Standardabweichung

So konvertieren Sie 26:

Zuerst den Mittelwert abziehen: 26-38,8 = -12,8,

Teilen Sie dann durch die Standardabweichung: -12,8 / 11,4 = -1,12

26 ist also -1,12 Standardabweichung vom Mittelwert

Hier sind die ersten drei Konvertierungen.

Originalwert Berechnung Standard Score (Z-Score)
26 (26-38,8) / 11,4 = -1.12
33 (33-38,8) / 11,4 = -0,51
65 (65-38,8) / 11,4 = -2,30
... ... ...

Und hier stellen sie grafisch dar:

Normalverteilung