Statistik - Leistungsrechner

Wann immer ein Hypothesentest durchgeführt wird, müssen wir sicherstellen, dass der Test von hoher Qualität ist. Eine Möglichkeit, die Leistungsfähigkeit oder Empfindlichkeit eines Tests zu überprüfen, besteht darin, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mit der der Test die null korrekt ablehnen kann, wenn eine alternative Hypothese korrekt ist. Mit anderen Worten, die Aussagekraft eines Tests ist die Wahrscheinlichkeit, die Alternativhypothese zu akzeptieren, wenn sie wahr ist, wobei die Alternativhypothese einen Effekt im statistischen Test feststellt.

$ {Power = \ P (\ reject \ H_0 | H_1 \ is \ true)} $

Die Aussagekraft eines Tests wird auch geprüft, indem die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ I ($ {\ alpha} $) und eines Fehlers vom Typ II ($ {\ beta} $) geprüft wird, wobei der Fehler vom Typ I die falsche Zurückweisung einer gültigen null Der Fehler vom Typ II stellt die inkorrekte Beibehaltung einer ungültigen null . Je geringer die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ I oder Typ II ist, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit einer statistischen Prüfung.

Beispiel

Es wurde eine Umfrage unter Studenten durchgeführt, um ihr IQ-Niveau zu überprüfen. Angenommen, eine zufällige Stichprobe von 16 Schülern wird getestet. Der Gutachter testet die null , dass der IQ des Schülers 100 ist, gegen die Alternativhypothese, dass der IQ des Schülers nicht 100 ist, unter Verwendung eines 0,05-Signifikanzniveaus und einer Standardabweichung von 16. Was ist die Kraft des Hypothesentests bei der wahren Grundgesamtheit? Mittel waren 116?

Lösung:

Als Verteilung der Teststatistik unter der null folgt eine Student-t-Verteilung. Hier ist n groß, wir können die t-Verteilung durch eine Normalverteilung approximieren. Da die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler vom Typ I ($ {\ alpha} $) zu begehen, 0,05 beträgt, können wir die null $ {H_0} $ ablehnen, wenn die Teststatistik $ {T \ ge 1.645} $ lautet. Berechnen Sie den Wert des Stichprobenmittelwerts mithilfe der Teststatistik mithilfe der folgenden Formel.

$ {T = \ frac {\ bar X - \ mu} {\ frac {\ sigma} {\ sqrt \ mu}} \\ [7pt] \ impliziert \ bar X = \ mu + T (\ frac {\ sigma} {\ sqrt \ mu}) \\ [7pt] \, = 100 + 1,645 (\ frac {16} {\ sqrt {16}}) \\ [7pt] \, = 106,58} $

Lassen Sie uns die Potenz des statistischen Tests nach folgender Formel berechnen.

$ {Power = P (\ bar X \ ge 106.58 \ where \ \ mu = 116) \\ [7pt] \, = P (T \ ge -2.36) \\ [7pt] \, = 1-P (T \ lt-2,36) \\ [7pt] \, = 1 - 0,0091 \\ [7pt] \, = 0,9909} $

Es besteht also eine Wahrscheinlichkeit von 99,09%, dass die null $ {H_0: \ mu = 100} $ zugunsten der Alternativhypothese $ {H_1: \ mu \ gt 100} $ verworfen wird, wobei der unbekannte Populationsmittelwert $ {\ mu = 116 beträgt } $.