Statistik - Wahrscheinlichkeitsadditivsatz

Für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Der additive Wahrscheinlichkeitssatz besagt, dass wenn A und B zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse sind, die Wahrscheinlichkeit von entweder A oder B gegeben ist durch

$ {P (A \ oder \ B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B)} $

Der Satz kann auch als auf drei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse erweitert werden

$ {P (A \ Tasse B \ Tasse C) = P (A) + P (B) + P (C)} $

Beispiel

Problemstellung:

Eine Karte wird aus einem 52er-Pack gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen König oder eine Königin handelt?

Lösung:

Let Event (A) = Ziehe eine Königskarte

Ereignis (B) Ziehe eine Karte der Königin

P (Karten ziehen ist König oder Dame) = P (Karte ist König) + P (Karte ist Dame)

$ {P (A \ Tasse B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ [7pt] = \ frac {1} {13} + \ frac {1} {13} \\ [7pt] = \ frac {2} {13}} $

Für nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse

Falls es die Möglichkeit gibt, dass beide Ereignisse auftreten, lautet der additive Satz wie folgt:

$ {P (A \ oder \ B) = P (A) + P (B) - P (A \ und \ B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B ) - P (AB)} $

Beispiel

Problemstellung:

Es ist bekannt, dass ein Schütze 3 von 7 Schüssen auf ein Ziel schießt. Wobei ein anderer Schütze 2 von 5 Schüssen auf das Ziel schießt. Finde die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel überhaupt getroffen wird, wenn beide es versuchen.

Lösung:

Wahrscheinlichkeit, dass der erste Schütze das Ziel trifft P (A) = $ {\ frac {3} {7}} $

Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Schütze das Ziel trifft P (B) = $ {\ frac {2} {5}} $

Event A und B schließen sich nicht gegenseitig aus, da beide Schützen das Ziel treffen können. Daher gilt die additive Regel

$ {P (A \ Tasse B) = P (A) + P (B) - P (A \ Kappe B) \\ [7pt] = \ frac {3} {7} + \ frac {2} {5} - (\ frac {3} {7} \ times \ frac {2} {5}) \\ [7pt] = \ frac {29} {35} - \ frac {6} {35} \\ [7pt] = \ frac {23} {35}} $