Statistik - Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) oder die Dichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen eine Funktion, die die relative Wahrscheinlichkeit beschreibt, mit der diese Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird durch die folgende Formel definiert:

$ {P (a \ le X \ le b) = \ int_a ^ bf (x) d_x} $

Wo -

  • $ {[a, b]} $ = Intervall, in dem x liegt.

  • $ {P (a \ le X \ le b)} $ = Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert x innerhalb dieses Intervalls liegt.

  • $ {d_x} $ = ba

Beispiel

Problemstellung:

Während des Tages stoppt eine zufällige Uhr zu jeder Zeit einmal. Wenn x die Zeit ist, zu der es stoppt und die PDF für x gegeben ist durch:

$ {f (x) = \ begin {cases} 1/24, & \ text {for $ 0 \ le x \ le 240 $} \\ 0, & \ text {else} \ end {cases}} $

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Uhr zwischen 14.00 und 14.45 Uhr stoppt.

Lösung:

Wir haben den Wert der folgenden gefunden:

$ {P (14 \ le X \ le 14.45) = \ int_ {14} ^ {14.45} f (x) d_x \\ [7pt] \ = \ frac {1} {24} (14.45 - 14) \\ [ 7pt] \ = \ frac {1} {24} (0,45) \\ [7pt] \ = 0,01875} $