Statistik - Wahrscheinlichkeits-Multiplikationssatz

Für unabhängige Veranstaltungen

Der Satz besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens zweier unabhängiger Ereignisse durch das Produkt ihrer individuellen Wahrscheinlichkeiten gegeben ist.

$ {P (A \ und \ B) = P (A) \ mal P (B) \\ [7pt] P (AB) = P (A) \ mal P (B)} $

Der Satz kann auch als auf drei oder mehr unabhängige Ereignisse ausgedehnt werden

$ {P (A \ Kappe B \ Kappe C) = P (A) \ mal P (B) \ mal P (C) P (A, B \ und \ C) = P (A) \ mal P (B) \ times P (C)} $

Beispiel

Problemstellung:

Ein College muss einen Dozenten ernennen, der B.Com., MBA und Ph. D sein muss. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt $ {\ frac {1} {20}} $, $ {\ frac {1} {25}. } $ und $ {\ frac {1} {40}} $. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine solche Person vom College ernannt wird.

Lösung:

Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein B.Com.P (A) = $ {\ frac {1} {20}} $ ist

Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein MBA ist P (B) = $ {\ frac {1} {25}} $

Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Ph.DP (C) = $ {\ frac {1} {40}} $ ist

Verwendung des multiplikativen Theorems für unabhängige Ereignisse

$ {P (A, B \ und \ C) = P (A) \ mal P (B) \ mal P (C) \\ [7pt] = \ frac {1} {20} \ mal \ frac {1} {25} \ times \ frac {1} {40} \\ [7pt] = .05 \ times .04 \ times .025 \\ [7pt] = .00005} $

Für abhängige Ereignisse (Bedingte Wahrscheinlichkeit)

Wie zuvor definiert, sind abhängige Ereignisse Ereignisse, bei denen das Auftreten oder Nichteintreten eines Ereignisses das Ergebnis des nächsten Ereignisses beeinflusst. Für solche Ereignisse ist der zuvor genannte multiplikative Satz nicht anwendbar. Die mit solchen Ereignissen verbundene Wahrscheinlichkeit wird als bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet und ist gegeben durch

P (A / B) = $ {\ frac {P (AB)} {P (B)}} $ oder $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}} $

Lesen Sie P (A / B) als Eintrittswahrscheinlichkeit für Ereignis A, wenn Ereignis B bereits aufgetreten ist.

Ebenso ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von B bei A

P (B / A) = $ {\ frac {P (AB)} {P (A)}} $ oder $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (A)}} $

Beispiel

Problemstellung:

Eine Münze wird zweimal geworfen. Der Wurf führte zu einem Kopf und einem Schwanz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Wurf zu einem Schweif führte?

Lösung:

Der Probenraum einer zweimal geworfenen Münze wird mit S = {HH, HT, TH, TT} angegeben.

Sei Ereignis A der erste Wurf, der zu einem Schwanz führt.

Ereignis B ist, dass ein Schwanz und ein Kopf aufgetreten sind.

$ {P (A) = \ frac {P (TH, TT)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {2} {4} = \ frac {1} {2} \\ [ 7pt] P (A \ cap B) = \ frac {P (TH)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {1} {4} \\ [7pt] Also \ P (A / B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (A)} \\ [7pt] = \ frac {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {2}} \\ [7pt] = \ frac {1} {2} = 0,5} $