Statistik - Quadratische Regressionsgleichung

Die quadratische Regression wird eingesetzt, um eine Parabelgleichung zu ermitteln, die am besten zu dem gegebenen Datensatz passt. Es hat folgende Form:

$ {y = ax ^ 2 + bx + c \ where \ a \ ne 0} $

Mit der Methode der kleinsten Quadrate kann die quadratische Regressionsgleichung ermittelt werden. In dieser Methode ermitteln wir den Wert von a, b und c so, dass der quadratische vertikale Abstand zwischen jedem gegebenen Punkt ($ {x_i, y_i} $) und der Parabelgleichung ($ {y = ax ^ 2 + bx + 2}) $) ist minimal. Die Matrixgleichung für die Parabelkurve ist gegeben durch:

$ {\ begin {bmatrix} \ sum {x_i} ^ 4 & \ sum {x_i} ^ 3 & \ sum {x_i} ^ 2 \\ \ sum {x_i} ^ 3 & \ sum {x_i} ^ 2 & \ sum x_i \\ \ sum {x_i} ^ 2 & \ sum x_i & n \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a \\ b \\ c \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sum {x_i} ^ 2 {y_i} \\ \ sum x_iy_i \\ \ sum y_i \ end {bmatrix}} $

Korrelationskoeffizient, r

Der Korrelationskoeffizient r bestimmt, wie gut eine quardratische Gleichung zu den gegebenen Daten passen kann. Wenn r nahe bei 1 liegt, ist dies eine gute Anpassung. r kann mit der folgenden Formel berechnet werden.

$ {r = 1 - \ frac {SSE} {SST} \ wobei \\ [7pt] \ SSE = \ sum (y_i - a {x_i} ^ 2 - bx + i - c) ^ 2 \\ [7pt] \ SST = \ sum (y_i - \ bar y) ^ 2} $

Im Allgemeinen werden quadratische Regressionsrechner verwendet, um die quadratische Regressionsgleichung zu berechnen.

Beispiel

Problemstellung:

Berechnen Sie die quadratische Regressionsgleichung der folgenden Daten. Überprüfen Sie die beste Fitness.

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 7.5 3 0,5 1 3 6 14

Lösung:

Berechnen Sie eine quadratische Regression im Taschenrechner, indem Sie die x- und y-Werte eingeben. Die quadratische Gleichung mit der besten Anpassung für die obigen Punkte lautet wie folgt

$ {y = 1.1071x ^ 2 + 0.5714x} $

Zeichnen Sie das Diagramm, um die beste Fitness zu überprüfen.

quadratische Regressionsgleichung

Der Wert des Korrelationskoeffizienten r für die Daten beträgt also 0,99420 und liegt nahe bei 1. Daher ist die quadratische Regressionsgleichung am besten geeignet.